Противоположные числа и модуль. Решение уравнений и неравенств

Продолжение прошлого урока о модуле. Здесь вы научитесь применять полученные знания при решении конкретных примеров. Некоторые из них вполне способы привести к замешательству…

Предыдуший урок по теме

Больше уроков на сайте https://mriya-urok.com/

Противоположные числа и модуль (решение уравнение и неравенств)

-3 противоположно 3

7 противоположно -7

Противоположные друг другу числа называются взаимно противоположными.Число, которое отличается от данного только знаком, называется противоположным числом

Исключение число 0 (противоположно самому себе)

Обозначение: слово «противоположное» заменяют знаком «-»

Число противоположное числу а, записывается как -а

-5 можно читать как «минус пять» или «число, противоположное числу пять»

: «число, противоположное числу -5», т.е. 5

Для любого числа а выполняется равенство -(-а) = а

Внимание!

-а число неизвестное, поэтому может быть как положительным, так и отрицательным

∙

Взаимно противоположные числа расположены по разные стороны от 0 на одинаковом расстоянии от него.

Расстояние от начала отсчёта до точки, обозначающей данное число, называют модулем (лат. modus– мера, величина).

Вместо «модуль», иногда употребляют «абсолютная величина»

«модуль числа а»

Свойства модуля:

Модули противоположных чисел равны
Модуль числа 0 равен 0
Значение модуля всегда неотрицательно >
Противоположные числам присущи некоторые характерные результаты. Перечислим их и дадим необходимые комментарии.
- Начнем с утверждения, которое напрямую следует из определения противоположных чисел. Его формулировка такова: число, противоположное положительному числу, отрицательно, а число, противоположное отрицательному числу, положительно (при необходимости посмотрите материал статьи положительные и отрицательные числа). Это и понятно, так как точки координатной прямой, соответствующие противоположным числам, находятся по разные стороны от начала отсчета.Из озвученного утверждения выделим один очень важный результат, который с помощью букв записывается так: −(−a)=a, где a – любое положительное число. Поясним этот момент на примере. По координатной прямой видно, что числу 7 противоположно число −7, а числу −7 противоположно число 7. Но принятые нами обозначения противоположных чисел вынуждают нас записать число, противоположное −7, как −(−7). Следовательно, −(−7)=7, и вообще−(−a)=a. Отсюда можно заключить, что записи противоположных чисел отличаются лишь знаком минус.
- Переходим к следующему результату — свойству симметричности, которое также вытекает из определения противоположных чисел: если число aпротивоположно числу b, то b противоположно a. Здесь комментарии излишни.
- Озвучим следующее утверждение: для каждого действительного числа есть единственное противоположное число. Оно базируется на том, что данной точке координатной прямой соответствует единственное действительное число.
- Из определения модуля числа вытекает, что модули противоположных чисел равны. Действительно, точки координатной прямой, соответствующие противоположным числам, находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчета.
- Наконец, сумма противоположных чисел равна нулю. Запишем последнее изречение в буквенном виде: a+(−a)=0. Приведем несколько примеров. Сумма противоположных чисел 109 и −109 равна 0, сумма −54,43+54,43равна нулю