Вписанные четырёхугольники

В отличие от треугольника, вписанный в окружность может быть не всякий четырёхугольник . Выясним, вокруг какого из рассмотренных нами на уроках четырёхугольников можно описать окружность.

Больше уроков на сайте  https://mriya-urok.com/

Четырёхугольник называется вписанным в окружность, если существует окружность, которой принадлежат все его  вершины

Четырёхугольник АВСМ – вписанный в окружность, так как его вершины А,В,С,М лежат на окружности или  окружность проходит через  вершины четырёхугольника АВСМ.

Говорят, что окружность описана вокруг четырёхугольника

Если четырёхугольник вписанный в окружность, то существует точка, равноудаленная от всех его вершин. Эта точка будет центром описанной окружности. Чтобы найти ёе, достаточно найти точку пересечения серединных перпендикуляров двух соседних сторон четырёхугольника.

Если четырёхугольник вписанный в окружность, то существует точка, равноудаленная от всех его вершин. Эта точка будет центром описанной окружности. Чтобы найти ёе, достаточно найти точку пересечения серединных перпендикуляров двух соседних сторон четырёхугольника.

Углы А и С –противоположные углы четырёхугольника АВСМ и они являются вписанными.Тогда <А=½ںВСМ и <С=½ںВАМ. Но ںВСМ + ںВАМ=360°. Следовательно, <А + <С= ½ںВСМ + ½ںВАМ =½(ںВСМ + ںВАМ )=½•360°=180° . Аналогично можно доказать, что  <В+<М=180°.

В отличие от треугольника, окружность можно описать не вокруг всякого четырёхугольника и не всякий четырёхугольник можно вписать в окружность.

Для того, чтобы выяснить, какой четырёхугольник можно вписать в окружность, воспользуемся теоремой, обратной к теореме о вписанном четырёхугольнике.

• Если в четырёхугольнике противоположные углы имеют сумму 180°, то он является вписанным
• Выясним, вокруг какого из рассмотренных нами четырёхугольников можно описать окружность.

Предположим, что параллелограмм АВСД вписан в окружность

Тогда ‹А+<С=180° по свойству четырёхугольника, вписанного в окружность

• Мы знаем, что противоположные углы параллелограмма равны. Следовательно, <А = <С = 90⁰, то есть, параллелограмм в этом случае должен быть прямоугольником. Проверим. Можно ли, около прямоугольника описать окружность?
• Проведем диагонали. Известно, что диагонали прямоугольников равны между собой. Кроме того, как диагонали параллелограмма в точке пересечения они делятся пополам. Значит, точка пересечения равноудалена от всех вершин прямоугольника и поэтому является центром описанной окружности.
• Мы выяснили, что прямоугольник, а, значит, и квадрат, можно вписать в окружность.