Вписанная и описанная окружности

В чём разница между вписанной и описанной окружностями? А можно ли любой треугольник описать окружностью? Нет однозначных ответов? Значит нужно посмотреть урок

Больше уроков на сайте  https://mriya-urok.com/

Окружность наз описанная около треуг, если она проходит через все его вершины  (чертеж)

Окр ОПИСАННАЯ, так как она обходит треуг, а треуг в таком случае называют вписанным в окружность, так как он находится ВНУТРИ окружности

может быть, у тебя возник вопрос: «а всегда ли можно описать окружность вокруг треугольника?» ответ на этот вопрос дает теорема:

Вокруг любого треуг можно описать окр, притом только одну.иллюстр на чертеже

Эта теорема относится к разряду теорем о существовании и единственности, а ее доказательство дает способ нахождения описанной окружности.

Док-во. Для нахождения или построения окр необходимо найти ее центр и указать радиус. Для этого рассмотрим произвол ∆ АВС. Центр окр равноуд от всех его вершин:   А,  В,  С.

Все точки, равноудаленные от вершин (точек) А  и В лежат на серединном перпендикуляре к отрезку АВ.  А все точки, равноудаленные от вершин (точек) А  и С лежат на серединном перпендикуляре к отрезку АС.  Эти серед перп пересекутся в точке О. и эта точка равноудалена как от А и В, так и от С. ОА = ОВ = ОС.  Приняв длину этого отрезка за радиус, а точку О – за центр,  можно провести окр, на кот лежат все  вершины треуг.  Итак, доказано существование. А единственность следует из того, что сер пер – это единственное мн-во точек, равноудаленных от двух данных,  точка пересечения двух сер пер – тоже единств.

Как было обещано перед док-вом, получен способ нахождения центра описанная окр. Для этого нужно провести сер пер  к стор треуг, причем только к двум, потому что третий все равно укажет ту же самую точку пересеч. =>

След опред:

Окружность наз вписанной в треуг, если она касается всех его сторон.  (иллюстр на чертеже)

Ну а треуг в таком случ – описанная.

Теор о вписанной окр:

В любой треуг можно вписать окр, притом только одну.

Док-во:  АВС — произв треуг. Впис  окр  кас  стор АВ и ВС , то есть равноудалена от сторон угла АВС. Все точки, равноуд от сторон этого угла лежат на биссектрисе угла.  Построим ее на чертеже.  Проведем те же рассуждения для другого угла:  Все точки, равноуд от сторон   угла ВАС,  лежат на биссектрисе  этого угла.  Эти две биссектр пересек, обозначим точку перес буквой О.  точка О равноуд от Всех трех сторон треуг. Так что, если опустить  перп  из точки О на каждую их стор, то эти три перп окажутся равными и основания перп – точки К, М, Р  будут лежать на одной окружности с центром в точке О и радиусом, равным длине перп.  Так как радиусы, проведенные в эти  точки, перп  отрезкам прямых – сторонам труег, то  по признаку касательной можно заключить, что каждая из сторон треуг – касат к окр. След,  опис окр сущ. А ее единственность следует из того, что бисс  – это единственное мн-во точек, равноудаленных от сторон угла,  точка пересечения двух бисс – тоже единств.

Как и в прежнем сл-е, док-во теоремы предлагает способ нахождения впис окр.

Построй впис  и опис окр  для произвольного, выбранного тобой  тупоугольного треуг.  Не огорчайся если с первого раза не получится точное построение. Для четкого выполнения заданий  на построение нужны твердая рука, точные измерения, остро отточенные грифели карандаша и циркуля.   Попробуй еще раз выполнить это задание,  выйдет гораздо  лучше.