Описание к Уроку

Больше уроков на сайте  https://mriya-urok.com/

 

Определение 1. Остроугольной трапецией называется трапеция, у которой углы, прилегающие к большему основанию острые.
Определение 2. Тупоугольной трапецией называется трапеция, у которой один из углов, прилегающих к большему основанию тупой.
Определение 3. (рис 3) Равнобедренной (равнобокой, равнобочной) называется трапеция, у которой боковые стороны равны.
Определение 4. (рис 4) Прямоугольной называется трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям.
Свойства равнобедренной трапеции
В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны

 

Свойства равнобедренной трапеци

В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

 
Проведём высоты ВВи  СС Доказательство:

∆АВВ = ∆DССпо катету и гипотенузе

(АВ=С D по условию, ВВ=  ССпо построению).Из равенства треугольников следует, что  <А = < D

  1. <А + < В = 180° и < D + <С = 180° (по свойству внутренних односторонних углов при параллельных прямых ВС и А D и секущих АВ и С D).

Следовательно: < В = < С

В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны

 

В трапеции АВСD   АВ││СD,АD=ВС, АС и  ВD – диагонали.

Докажем, что АС=ВD.

Доказательство

Рассмотрим∆ DАС и ∆СВD.

У них:

  1. DС- общая сторона;
  2. АD=ВС – по условию;
  3. ∠АDС=∠ DСВ как углы при основании равнобокой трапеции

Следовательно,∆DАС =∆СВD по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон.

Тогда АС=ВD, что и требовалось доказать

Задача 1.

В равнобокой трапеции один из углов равен 600, ВК и СР – высоты,боковая сторона равна 24 см, а сумма оснований равна 44 см. Найти основания трапеции.

 

Решение

Так как трапеция равнобокая с основаниями ВС и АМ, то ∠А=∠М=60⁰(как углы при основании равнобокой трапеции)и АВ=СМ=24см по условию.

Так как ВК и СР – высоты трапеции, то ∠К=∠Р=90⁰.

Следовательно, ∆АВК=∆МСР по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников вытекает равенство соответствующих сторон и углов : АК=РМ, и ∠АВК = ∠МСР. Зная, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90⁰, находим, что ∠АВК = ∠МСР =30⁰. Но катет, который лежит против угла 30⁰, равен половине гипотенузы, поэтому АК=РМ=АВ=12см.

Четырёхугольник ВСРК – прямоугольник (высоты перпендикулярны основаниям) и в нём противоположные стороны равны, то есть ВС=КР.

Пусть ВС=КР= х см.

По условию задачи ВС +АМ=44см,отсюда АМ=44-ВС=44-х.

Но АМ=АК+КР+РМ. Тогда 44-х=12+х+12.

44-24=2х,  2х=20, х=10.

Следовательно,  ВС =10см, АМ=24+10=34см.

Ответ: 10см, 34см.

Задача 2.

Средняя линия прямоугольной  трапеции равна 12 см, а высота, проведённая с вершины тупого угла трапеции, делит её  основание на отрезки, длины которых относятся как 3 : 2, считая от вершины прямого угла. Найти основания трапеции.
Решение 

Так как трапеция прямоугольная, то ∠С=∠ D =90⁰.

Так как ВН высота, то ∠НВС=∠ВНD=90⁰.

Следовательно, ВСDН прямоугольник и ВС=НD.

Пусть НD=ВС=3k, АН=2k.Тогда АD=АН+НD=5k. По теореме о средней линии трапеции MN=.

12=(3 k +5 k):2, 12=4 k, k=3. Тогда ВС=3 k=9см, АD=5 k=15см.

Ответ. 9см, 15см.

 

 

Добавлено Октябрь 30, 2014, Yurka Категория Тэг

Комментарии

Отправить ответ

Оставьте первый комментарий!

Notify of

wpDiscuz