Описание к Уроку

Рассмотрим решение трех задач, где необходимо применить изученный материал о трапециях

Больше уроков на сайте  https://mriya-urok.com/

 

 

В прямоугольной трапеции основания равны a и b (a<b), а острый угол равен α. Найти боковые стороны данной трапеции.

  • Дано: АВСМ – трапеция, ВС||АМ,
  • <М=90⁰,
  • ВС=a, АМ=b, <А=α
  • Найти: а)АВ, α=60°;
  • б) СМ,α=45°,
  • Решение
  • а) Проведём ВК |АМ. Тогда ВСКМ – прямоугольник, в котором ВК=СМ и ВС=КМ=а (по свойству противоположных сторон прямоугольника). АК= АМ-КМ=b-а.
  • Рассмотрим прямоугольный треугольник АВК, в котором угол К=90⁰, угол А=60⁰. Тогда угол В=30⁰(по теореме о сумме углов треугольника). Так как катет, лежащий против угла 30⁰, равен половине гипотенузы, то АК=½АВ или АВ=2АК=2(b-а).
  • б) Если угол А=45⁰, то треугольник АВК будет равнобедренным прямоугольным и АК=ВК= b-а . Следовательно, и СМ= b-а
  • Ответ: а) 2( b-а); б) b-а.
  • Решение
  • В треугольнике АСВ <С=90⁰,<В=60⁰, тогда <САВ=30⁰ и катет СВ=½АВ (как катет, лежащий против угла 30⁰) и АВ=2СВ.Так как по условию <КАС=<САВ, то <КАВ=60⁰. Следовательно, трапеция АКСВ равнобокая, так как у неё углы при основании равны. Тогда  АК=СВ.
  • <САВ=<КСА как внутренние разносторонние углы при параллельных прямых КС и АВ и секущей АС. Тогда треугольник АКС равнобедренный и АК=КС.
  • Пусть АК = КС = СВ = х см, АВ = 2х см.
  • По условию задачи Р(АКСВ)=20см, то есть АК+КС+СВ+АВ=20см или х+х+х+2х=20.
  • 5х=20,
  • х=4.
  • Следовательно, АВ=8см.
  • Ответ: 8см.
    • Доказательство
    • Построим МК||АВ и МН||СР. Тогда АВМК и РСМН параллелограммы и АВ=МК, ВМ=АК,МС=НР, МН=СР, ВМ=МС=АК=НР(по свойству противоположных сторон параллелограмма). Следовательно, ВМ=МС=НР=АК.
    • <ВАК=<МКЕ (как соответственные углы при параллельных прямых АВ и КМ и секущей АК ). Аналогично <СРН=<МНЕ как соответственные углы при параллельных прямых МН и СР и секущей НР. Так как по условию <ВАР +<СРА=90⁰, то <МКЕ+<МНЕ=90⁰. Следовательно, в треугольнике КМН сумма углов <МКЕ и <МНЕ равна 90⁰ ,тогда <КМН=90⁰ и треугольник КМН- прямоугольный.
    • Так как АЕ=ЕР и ВМ=МС=АК=НР, то КЕ=ЕН и Е- середина гипотенузы КН треугольника КМН. Но середина гипотенузы является центром окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, и тогда  ЕК=ЕМ=ЕН как радиусы этой окружности.
    • КН=АР-АК-НР=АР-ВМ-МС=АР-(ВМ+МС)=АР-ВС. Тогда КЕ=ЕН=МЕ=½(АР-ВС) что и требовалось доказать.

Добавлено Октябрь 30, 2014, Yurka Категория Тэг

Комментарии

Отправить ответ

Оставьте первый комментарий!

Notify of

wpDiscuz