эта теорема — важнейшее следствие теоремы Фалеса. С ее помощью на уроке доказано любопытное и полезное свойство замечательных отрезков треугольника.
Больше уроков на сайте https://mriya-urok.com/
Теорема о пропорциональных отрезках
Теорема. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
Если параллельные прямые пересекают одну сторону угла в точках А, В, С, а вторую соответственно в точках А1, В1, С1, то
Доказательство этой теоремы довольно громоздкое, поэтому я не буду его проводить. Я надеюсь, что вы поверите мне и Фалесу, которому приписывают доказательство этого факта.
А мы рассмотрим две очень важные теоремы о свойствах медиан и биссектрис треугольника, которые доказываются с применением теоремы о пропорциональных отрезках и которые очень часто используют для решения задач.
Теорема (о свойствах медиан треугольника)
Все медианы треугольника пересекаются в точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.
Доказательство
Вспомним, что медианой треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Теорема Фалеса: Если на одной стороне угла отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую сторону угла, то они отсекут на второй стороне равные между собой отрезки
Пусть дан ΔABC, у которого AК, BD – медианы, К и D — середины сторон ВС и АС, AК∩ВD= O. Необходимо доказать, что ВО:ОD = 2:1.
Проведем DМ||AК. Так как АD=DС, то по теореме Фалеса МС=МК и МС=МК=½КС=½ВК, то есть ВК: КМ=2:1. Тогда по теореме о пропорциональных отрезках ВО:ОD= ВК: КМ =2:1=2.
Аналогично доказывается, что и две другие медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1.
Точка пересечения медиан называется центроидом треугольника.
Задача 1
На рисунке АЕ||ВF||CМ||DК, АВ=25см, ВС=20см, СD=35см, ЕК=48см. Найти EF,FM,MK.
Решение
По теореме о пропорциональных отрезках EK:FE = AD:AB.
Так как AD=AB+BC+CD=25+20+35=80(см), то 48:FE=80:25, EF= =15см.
EK: FM=AD:BC, 48: FM=80:20, FM= =12см.
EK:MK=AD:CD, 48:MK=80:35, МК= =21см.
Ответ: 15см, 12см, 21см.
Задача 2.
В равнобедренном треугольнике АВС (АВ= ВС) М – точка пересечения медиан, ВМ=6см. Найти расстояние от середины боковой стороны до основания треугольника.
Дано: ∆АВС, АВ = ВС, АК и ВЕ – медианы,
К и М — середины сторон ВС и АС, КР∟АС.
М=АК∩ВЕ, ВМ=6см.
Найти КР
Решение
Так как М – точка пересечения медиан треугольника, то она поделила медиану ВЕ в отношении 2:1, считая от вершины В. Поэтому справедливо равенство ВМ:МЕ=2:1. Или 6:МЕ=2, МЕ=3см.
Тогда ВЕ=ВМ+МЕ=9см. Поскольку треугольник АВС равнобедренный и ВЕ – медиана, проведённая к основанию, то ВЕ- высота и<Е=90°.
КР тоже перпендикуляр к основанию АС, поэтому ВЕІІКР. Так как ВК=КС, то по теореме Фалеса Р – середина ЕС и ЕР=РС. Тогда КР – средняя линия ∆ВСЕ и она равна половине ВЕ, КР=½ ВЕ=4,5см.
Ответ: 4,5см.
Отправить ответ
Оставьте первый комментарий!
Вы должны быть зарегистрированы чтобы оставить комментарий
Вы должны быть зарегистрированы чтобы оставить комментарий