Теорема о пропорциональных отрезках

эта теорема — важнейшее следствие теоремы Фалеса. С ее помощью на уроке доказано любопытное и полезное свойство замечательных отрезков треугольника.

Больше уроков на сайте  https://mriya-urok.com/

Теорема  о пропорциональных отрезках

Теорема. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

Если параллельные прямые пересекают одну сторону угла в точках А, В, С, а  вторую соответственно в точках А₁, В₁, С₁, то

Доказательство этой теоремы довольно громоздкое, поэтому я не буду его проводить. Я надеюсь, что вы поверите мне и Фалесу, которому  приписывают  доказательство  этого факта.

А мы рассмотрим две очень важные теоремы о свойствах медиан и биссектрис треугольника, которые доказываются с применением теоремы  о пропорциональных отрезках и которые очень часто используют для решения задач.

Теорема (о свойствах медиан треугольника)

Все медианы треугольника пересекаются в точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Доказательство

Вспомним, что медианой треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Теорема Фалеса: Если на одной стороне угла отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую сторону угла, то они отсекут на второй  стороне равные между собой отрезки

Пусть дан ΔABC, у которого AК, BD  – медианы, К и D — середины сторон ВС и АС, AК∩ВD= O. Необходимо доказать, что  ВО:ОD = 2:1.

Проведем DМ||AК. Так как АD=DС, то по теореме Фалеса МС=МК  и МС=МК=½КС=½ВК, то есть ВК: КМ=2:1. Тогда по теореме  о пропорциональных отрезках  ВО:ОD= ВК: КМ =2:1=2.

Аналогично доказывается, что и две другие медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1.

Точка пересечения медиан называется центроидом треугольника.

Задача 1 

На рисунке АЕ||ВF||CМ||DК, АВ=25см, ВС=20см, СD=35см, ЕК=48см. Найти EF,FM,MK.

Решение

По теореме о пропорциональных отрезках EK:FE = AD:AB.

Так как AD=AB+BC+CD=25+20+35=80(см), то 48:FE=80:25, EF= =15см.

EK: FM=AD:BC, 48: FM=80:20, FM=  =12см.

EK:MK=AD:CD, 48:MK=80:35, МК= =21см.

Ответ: 15см, 12см, 21см.

Задача 2.

В равнобедренном треугольнике АВС (АВ= ВС) М – точка пересечения медиан, ВМ=6см. Найти расстояние от середины боковой стороны до основания треугольника.

Дано: ∆АВС, АВ = ВС, АК и ВЕ – медианы,

К и М — середины сторон  ВС и АС, КР∟АС.

М=АК∩ВЕ, ВМ=6см.

Найти КР

Решение

Так как М – точка пересечения медиан треугольника, то она поделила медиану ВЕ в отношении 2:1, считая от вершины В. Поэтому справедливо равенство ВМ:МЕ=2:1. Или 6:МЕ=2, МЕ=3см.

Тогда ВЕ=ВМ+МЕ=9см. Поскольку треугольник АВС равнобедренный и ВЕ – медиана, проведённая к основанию, то ВЕ- высота и<Е=90°.

КР тоже перпендикуляр к основанию АС, поэтому ВЕІІКР. Так как ВК=КС, то по теореме Фалеса Р – середина ЕС и ЕР=РС. Тогда КР – средняя линия ∆ВСЕ  и она равна половине ВЕ, КР=½ ВЕ=4,5см.

Ответ: 4,5см.