Теорема косинусов

Все знают теорему Пифагора и достаточно легко решают соответствующие задачки. А что же такое теорема косинусов? На самом деле это практически одно и тоже. Почему? Смотрите урок…

Больше уроков на сайте  https://mriya-urok.com/

Связанные уроки: Следствия из теоремы косинусов, Теорема синусов

С решением треугольников тебе уже приходилось сталкиваться, но речь шла, прежде всего,  о прямоугольных треугольниках.  Напомню:  стороны прямоугольного треугольника связаны  количественным соотношением, которое называется теоремой Пифагора. «Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». В буквенном виде это соотношение записано на доске. Кроме того, в прямоугольном треугольнике существуют соотношения, связывающие между собой стороны и углы. Это так называемые тригонометрические соотношения. Суть их в том , что значения синуса или косинуса однозначно определяют величину острого угла.  Но все эти соотношения действительны только в прямоугольном треугольнике – это инструменты для решения прямоугольных треугольников.  Сейчас же мы коснемся произвольного треугольника.  Единственное количественное соотношение, справедливое для любого треугольника – это утверждение о том, что сумма углов треугольника равна 180⁰. Это соотношение – один из необходимых инструментов для решения произвольного треугольника.  Другие инструменты будут изучены на ближайших двух уроках.  Сейчас — теорема косинусов. Это количественное соотношение, связывающее между собой стороны и углы треугольника.

Теорема косинусов 

Квадрат любой стороны треугольника равен (…) сумме квадратов двух других сторон(…)   Соотношение – количественное, так что его можно записать в виде формулы,  а для этого воспользуемся чертежом на доске.  Длины сторон обозначим буквами  a, b, c, а величины углов – буквами греческого алфавита α, β, γ. Причем, обрати  внимание но соответствие обозначений – напротив стороны а – буква α, напротив стороны b  – буква β, напротив стороны с – буква γ.

доказательство будет проведено  инструментами решения прямоугольных треугольников. Схематически эти инструменты можно записать так:  в прямоугольном треугольнике  (гипотенуза)² = (катет1)² + (катет2)²

И, конечно, косинус – ведь именно он фигурирует в теореме:  косинус = прилежащий/гипотенуза . еще н ам потребуется определение синуса: синус = противолежащий/гипотенуза. ну а для того, чтобы этими инструментами можно было пользоваться, необходим прямоугольный треугольник. Опустив из одной вершины треугольника высоту на противолежащую сторону, мы и получим такой треугольник.  А вот тут доказательство поведем двумя путями:   рассмотрим отдельно остроугольный треугольник и тупоугольный треугольник.  Сначала  проведем рассуждения для остроугольного треугольника.