Теорема Фалеса

Доказательство этой теоремы (Теорема Фалеса) начинается с дополнительного построения и опирается на изученные ранее довольно-таки простые свойства

Больше уроков на сайте  https://mriya-urok.com/

Теорема Фалеса

В математике есть много именных теорем, которые названы в честь математиков, которые доказали то или иное утверждение. Об  одной из таких теорем мы сегодня поговорим.

В одном из древних греческих городов Милете жил Фалес (приблизительно 640-548 годах до нашей эры), которого считают родоначальником греческой математики. Геометрия интересовала его больше всего. Считают, что Фалесу принадлежит первое доказательство теорем о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника, о равенстве вертикальных углов и теоремы, которую мы сегодня докажем.

Итак, теорема Фалеса.

Если на одной из сторон угла отложить равные отрезки и через концы этих отрезков провести параллельные прямые, то на другой стороне угла они отсекут тоже равные отрезки.

Доказательство

Проведём через точку К прямую ХУ || ВС. Тогда ОХКЕ и ЕКУН – параллелограммы (ХК||ОЕ и КУ || ЕН по построению,

ХО||КЕ и КЕ ||УН по условию).

Так как противоположные стороны параллелограмма равны, то ХК=ОЕ и КУ=ЕН.

Рассмотрим ∆ХКМ и ∆УКР. У них:

ÐХКМ = ÐУКР как вертикальные,

МК=КР по условию,

ÐХМК=ÐУРК как внутренние разносторонние углы при параллельных прямых МО и РН и секущей АВ.

Следовательно, ∆ХКМ = ∆УКР по стороне и прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, в частности ХК=КУ.

Тогда  ХК=ОЕ=КУ= ЕН что и требовалось доказать.

Если мы «сотрём» вершину угла, изменится ли при этом теорема? Оказывается, нет. Только тогда она будет чуть-чуть по другому звучать. Замечу, что вместо сторон угла тогда мы возьмём любые две прямые и рассмотрим два случая: когда прямые параллельные и когда они пересекаются. Предлагаю доказать это утверждение: если на одной из двух прямых отложить равные отрезки и через концы этих отрезков провести параллельные прямые, то они на другой прямой  отсекут тоже  равные отрезки.

Задача

Решение

Так как Ð ANM=ÐACB=116°,а это соответственные углы при прямых MN  и BC и секущей АС,  то MN | | BC (по признаку параллельности прямых).

Теоретическая часть