Свойства арифметического квадратного корня

Зная свойства квадратного корня,  можно с лёгкостью решать многие примеры в старших классах

Опорный урок: Арифметический квадратный корень

Больше уроков на сайте  https://mriya-urok.com/

Свойства – дополнительные правила, которые облегчают вычисления с такими корнями, преобразование выражений, содержащих корни.

Перечисляя свойства корня, нужно опираться на определение арифметического квадратного корня. Ты можешь вернуться к уроку «Ар_кв_кор».  Сейчас запишем его еще раз:

Арифметическим квадратным корнем из числа  а называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен а.   

• Первое свойство ар_кв_кор состоит в том, число  а, о котором идет речь в определении, неотрицательно, потому что оно является квадратом. То есть результатом умножения двух одинаковых чисел. И, даже если эти числа – отрицательны, то при умножении в результате будет получено положительное число. (Как в примере на доске).   Подчеркнем еще раз: выражение √х имеет смысл только тогда, когда х ≥ 0.
• Для формулирования второго свойства корня обратимся к записи определению ар_кв_кор, записанному на доске. В определении записано, что записи х и √а обозначают одно и то же.  Поэтому можно во второй строке определения вместо х записать √а и тогда получим второе свойство

Второе свойство:   (√а)² = а.  Если  возвести в квадрат выражение √а , то результатом будет подкоренное число а.

• Следующие два свойства корня помогают в вычислении ар_кв_кор.

 Ар_кв_кор  из произведения чисел равен произведению ар_кв_кор из каждого множителя.

Но это свойство действительно только при одном условии: каждое из подкоренных чисел (или выражение) неотрицательно.

Ар_кв_кор из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен,  равен  ар_кв_кор из числителя, деленному на кор из знаменателя.

Корень из степени. Это свойство касается таких случаев, когда под корнем – неотрицательное число, возведенное в четную степень. В таких случаях корень можно убрать, уменьшив степень подкоренного выражения вдвое.

• Шестое свойство похоже на предыдущее, но два существенных отличия состоят в том, число под корнем – любое (и положительное, и отрицательное), а степень этого числа – вторая (квадрат). И полная формулировка свойства перед тобой .  √а²  = \а\

Ар_кв_кор из  квадрата  числа   равен модулю этого числа.

Обсудим подробно, почему это так.   Записав равенство:  √х = у, мы требуем, чтобы числа х и у  были положительными.  Наряду с этим, выражение а²  всегда положительно, так как оно – квадрат.  Ну, а обозначение «модуль» просто отбрасывает знак, делая число положительным.