Решение задач при помощи квадратных уравнений

На сегодняшнем уроке алгебры мы будем учиться решать задачи с помощью квадратных уравнений.

Больше уроков на сайте  https://mriya-urok.com/

 

 

На сегодняшнем уроке алгебры мы будем учиться решать задачи с помощью квадратных уравнений. С одной из них и начнем.

Задача 1

Одна из сторон прямоугольника на 14см больше другой, а диагональ равна 34 см. Найдите его стороны.

 

Задача 2.    Периметр прямоугольного треугольника равен 62м.  Найдите его стороны, если площадь прямоугольника  210 м².

 Решение.     Составим уравнение к задаче. Для этого:   1) введем  неизвестную переменную;

2) установим  равенство.

Пусть  х (м) — это длина одной из сторон прямоугольника.  Выразим с помощью  х вторую сторону.  Как известно из условия, периметр равен 62м, поэтому полупериметр, то есть сумма длин двух разных сторон, равен  31м.  И из этого следует, что длина второй стороны (31 — х) м. В условии задачи речь идет о площади прямоугольника, поэтому  составим выражение для вычисления этой  площади:  х(31 — х), а по условию задачи это равно 210 см². Получили равенство:  х(31 — х) = 210.  Это и есть уравнение, решив которое, ты получишь длины сторон прямоугольника. Предлагаю тебе сделать это самостоятельно.

 

Задача 3.  Произведение двух последовательных натуральных чисел больше их суммы на 109. Найдите эти натуральные числа .

Решение.     Составим уравнение к задаче.

Пусть  х – меньшее из искомых чисел.  Т. к. числа – последовательные, то большее – на 1 больше, оно равно    х + 1. Далее, в  условии идет речь об их произведении и сумме. Соответственно,  произведение  х(х + 1) ,  а сумма х + х + 1 = 2х + 1. Разность между произведением и суммой :   х(х + 1) – (2х + 1), по условию задачи равна 109. Составим уравнение:   х(х + 1) – (2х + 1) = 109.  Раскрыв скобки и  упростив, получим уравнение:                   х² – х – 110 = 0 .  Оно – квадратное . его можно решить используя   формулы, или же опираясь на Теорему Виета. В любом случае получим корни   11  и  -10.

Число -10 не является натуральным,  поэтому не может быть в ответе к задаче,  значит, меньшее число  равно  11, ну а большее  12.

В этой задаче, как и в предыдущих, есть 2 неизвестных величины. При поиске решения составили уравнение, в котором  буквой «х» обозначили одну из этих величин. А если бы неизвестной в уравнении была другая величина? Проверим, что будет в задаче 3.

Остается записать ответ.

 

Задача 4.  При розыгрыше первенства школы по футболу каждая команда сыграла с каждой ровно 1 раз. Всего было сыграно 36 матчей. Сколько команд участвовало в розыгрыше?

Решение.     И эту задачу можно решить при помощи уравнения.   Сначала определим неизвестную переменную.  Требуется узнать количество команд-участниц. Это искомое количество и обозначим за «х».  Пусть х — это количество команд, участвовавших в розыгрыше.  Каждая команда сыграла столько игр, сколько у нее соперников, а их (х — 1).  Значит, х команд сыграли бы х(х — 1) игру. Но при таком подсчете каждая команда учтена дважды – как участница и как соперник. Поэтому,  раз в турнире каждая команда сыграло только по одному разу, то общее количество игр    ,  и это по условию равно 36 .

Составим и решим уравнение.

Закончим обзор задач и подведем итог урока.  Чтобы решить задачу при помощи уравнения , нужно:

• Определить, какая величина будет обозначена за «х». Обычно эта величина – та, которую надо найти, или одна из них.
• Установить равенство.
• Среди найденных корней полученного уравнения выбрать те, которые не противоречат условию задачи.