Решение треугольников

цель урока: научиться находить находить неизвестные длины сторон и величины углов треугольника. какие исходные данные нужно иметь, чтобы решить такую задачу? есть 4 типа задач, которые различаются наличием разных исходных данных. чтобы их решить, надо использовать теорему синусов, теорему косинусов, теорему о сумме углов треугольника.

Больше уроков на сайте  https://mriya-urok.com/

Связанные уроки: теорема косинусов, теорема синусов,  Сумма углов треугольника

Мы рассмотрим 4 различные задачи.

Три из них напоминают признаки равенства треугольников:

• в треуг. известны длины двух сторон и угла между ними;
• в треуг. известна длина одной стороны и велич.двух прилежащих к ней углов;
• в треуг. известны длины трех сторон.
• Четвертая задача не соответствует приз рав треуг: известны длины двух сторон и величина угла, лежащего напротив одной из них.

В каждой задаче требуется найти неизвестные величины.

Решая каждую из этих задач, опираться мы будем на 3 утверждения-теоремы.

• Теорема косинусов
• Теорема синусов
• Теорема о сумме углов треугольника.

Вспомни формулировки:

1) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов  двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

2) Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

3) Сумма углов треугольника равна 180 градусам.

Все три утверждения – расчетные, поэтому каждое из них можно записать в виде формул.

• Это пропорции.
• Для второго случая можно записать целых три формулы, но ни одна из них не требует непосредственного запоминания – а запомнить необходимо только формулировку теоремы, на основе которой записаны эти формулы.
• Самое простое их соотношений.

, а выбирать один из них – в зависимости от  имеющихся данных. А еще, поскольку в решениях фигурируют син и кос, то нужно будет обращаться к таблице значений тригонометрических функций. решение треугольников

Задача 1.

Зная величины двух сторон и угла между ними, мы находимся в условиях теоремы кос, с ее помощью и найдем длину третьей стороны.

Теперь мы знаем длины всех сторон и надо найти величины углов. Об этом речь шла в  следствии из теоремы косинусов, ведь зная величины всех сторон, можно вычислить косинусы углов. А по таблице определить и сами углы.

Величину третьего угла  проще всего вычислить по теореме о сумме углов треуг.

Задача 2.

Величину недостающего угла находим сразу – по теореме о сумме…

Теорема кос тут неприменима, поэтому записываем пропорции – теор син.

Задача 3.

Сразу переходить к теореме син бессмысленно, так как мы не сможем получить ни одного полного отношения, в каждом из них будет неизвестной син угла, поэтому воспользуемся теор кос – следствием из нее, которое позволяет вычислить косинусы углов, зная длины сторон. Косинусы двух углов вычислим по этим формулам, с помощью таблицы найдем сами углы, а величину третьего угла угла  проще всего вычислить по теореме о сумме углов треуг. решение треугольников

Задача 4. 

Тут известны длины двух сторон и одного, угла, … но этот угол не лежит между сторонами. Так что применить теор кос, как в первой задаче, невозможно. Значит, надо обратиться к теор син! Тут получим пропорцию, неизвестный член которой —  син угла, и вычислить его нетрудно. Загвоздка в другом – одно и то же значение синуса может быть и у тупого, и у острого угла.   У таких углов, сумма которых равна 180 градусов.     Если данный в условии угол  — не тупой, то один из двух других  углов  может оказаться тупым. Сейчас я обозначу его α₁ или α₂ .  А в решении образуются две ветви. В каждой из них сначала можно найти величину недостающего, третьего угла, а потом, воспользовавшись теор син или кос (как тебе больше нравится), величину третьей стороны.

решение треугольников  решение треугольников  решение треугольников

Необходимость  решение треугольников и нахождения неизвестных величин в нем часто встречается  при решении разных задач. А теоремы син и кос являються лишь инструментом, выбор которого зависит от конкретной ситуации, примеры которых и были показаны.