Решение показательных уравнений способом вынесения за скобки общего множителя

Для успешного решения показательных уравнений надо степени некоторых чисел знать «в лицо».

Больше уроков на сайте  https://mriya-urok.com/

Смотри также уроки: «Показательные уравнения«, «Нестандартные показательные уравнения«

Решение показательных уравнений способом вынесения за скобки общего множителя

Практические советы:

1. Первым делом смотрим на основания степеней. Соображаем, нельзя ли их сделать одинаковыми. Пробуем это сделать, активно используя действия со степенями. Не забываем, что числа без иксов тоже можно превращать в степени!
2. Пробуем привести показательное уравнение к виду, когда слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях. Используем действия со степенями и разложение на множители. То что можно посчитать в числах — считаем.
3. Если второй совет не сработал, пробуем применить замену переменной. В итоге может получиться уравнение, которое легко решается. Чаще всего — квадратное. Или дробное, которое тоже сводится к квадратному.
4. Для успешного решения показательных уравнений надо степени некоторых чисел знать «в лицо».

Примеры.

1 . 3^2х+4 — 11·9^х = 210

Первый взгляд — на основания! Основания у степеней разные… Тройка и девятка. А нам хочется, чтобы были – одинаковые.

Мы  уже знаем, что 9=3², поэтому  9^х= (3²)^х= 3^2х

По тем же правилам действий со степенями:

3^2х+4 = 3^2х·3⁴

Теперь наше уравнение можно записать так:

3^2х·3⁴ — 11·3^2х = 210

Мы привели пример к одинаковые основания. И что дальше!? Тройки-то нельзя выкидывать… Тупик?

Вовсе нет. Запоминаем самое универсальное и мощное правило решения всех математических заданий:

Не знаешь, что нужно — делай, что можно!

Глядишь, всё и образуется.

Что в этом показательном уравнении можно сделать? Да в левой части прямо просится вынесение за скобки! Общий множитель 3^2х явно намекает на это. Попробуем, а дальше видно будет:

3^2х (3⁴ — 11) = 210

Что ещё можно сделать?

Посчитать выражение в скобках:

3⁴ — 11 = 81 — 11 = 70

70·3^2х = 210

Вспоминаем, что для ликвидации оснований нам необходима чистая степень, безо всяких коэффициентов. Нам число 70 мешает. Вот и делим обе части уравнения на 70, получаем:

3^2х= 3

Всё и наладилось!

3^2х = 3¹

2х = 1

х = 0,5

Ответ.0,5

1. 2^х+1 — 7∙2^х-2=32.

В этом уравнении одинаковые основания степеней равны 2, а коэффициенты перед х равны 1.

Используя свойства степеней ( а^х+у=а^х∙а^у и а^х-у=а^х:а^у), перепишем даное уравнение так:

2^х ∙2¹ – 7 ∙2^х∙2^-2=32.

Вынесем за скобки общий множитель 2^х и получим:

2^х ∙ (2 – 7 ∙2^-2)=32,

2^х ∙ (2-)=32,

2^х∙(2 — 1 )=32,

2^х∙=32,

2^х = 32 : ,

2^х= 32∙4,

2^х=2⁵ ∙ 2²,

2^х = 2⁷,

Х=7.

Ответ: 7.

Случается, однако, что выруливание на одинаковые основания получается, а вот их ликвидация — никак. Такое бывает в показательных уравнениях другого типа. Этот тип рассмотрим на следующем уроке