Решение показательных уравнений способом введения новой переменной

Есть один могучий и универсальный способ решения уравнений — это метод замены переменной. Суть его в том, что вместо одного сложного значка пишем другой, попроще.Такой ход приводит к замечательным результатам!

Больше уроков на сайте  https://mriya-urok.com/

Смотри также уроки: «Показательные уравнения«, «Нестандартные показательные уравнения«,  «Однородные показательные уравнения«

Решение показательных уравнений способом  введения новой переменной

Решим уравнение:

4^х — 3·2^х +2 = 0

Сначала — как обычно. Переходим к одному основанию. К двойке.

4^х =(2²)^х= 2^2х

Получаем уравнение:

2^2х — 3·2^х+2 = 0

Предыдущие приёмы не срабатывают, поэтому придётся доставать из арсенала ещё один могучий и универсальный способ. Называется он замена переменной.

Суть способа проста до удивления. Вместо одного сложного значка (в нашем случае – 2^х) пишем другой, попроще (например — t). Такая, казалось бы, бессмысленная замена приводит к потрясным результатам!) Просто всё становится ясным и понятным!

Итак, пусть

2^х = t›0

Тогда 2^2х = (2^х)² = t²

замена переменной:

t² — 3t+2 = 0

Квадратные уравнения не забыли ещё? Если забыли, посмотрите урок на нашем сайте «Квадратные уравнения».

Решаем  по теореме Виета или через дискриминант, получаем:

t₁= 2

t₂ = 1

Тут, главное, не останавливаться, как бывает… Это ещё не ответ, нам икс нужен, а не t. замена переменной Возвращаемся к иксам, т.е. делаем обратную замену. Сначала для t₁:

t₁= 2 = 2^x

Стало быть,

2^x= 2

Х₁ = 1

Один корень нашли. Ищем второй, из t₂:

t₂ = 1 = 2^x

2^х= 1

Вспомнить (из действий со степенями), что единичка — это любое число в нулевой степени. Любое. Какое надо, такое и поставим. Нам нужна двойка. Значит:

1 = 2⁰

2^х = 2⁰

Х₂ = 0

Вот теперь всё. Получили 2 корня:

Х₁ = 1

Х₂ = 0

Ответ.1; 0.

Ну,и напоследок  сложнейший пример (решается, правда, в уме…):

7^0,13х+ 13^0,7х+1+ 2^0,3х+1= -3

Как видите не тянет на какой-то метод. А решить надо! И вот здесь срабатывает смекалка.

Положительное число в любой степени – число положительное, а суммк положительных чисел – всегда число положительное. Поэтому сумма

7^0,13х +13^0,7х+1 +2^0,3х+1 -3. Следовательно, это уравнение не имеет корней. Ну, чтож, и такое бывает!

Последний забавный вопрос на соображение. На этом уроке мы работали с показательными уравнениями. Почему я здесь ни слова не сказала про ОДЗ? В уравнениях — это очень важная штука, между прочим… но об этом – на следующем уроке