Приведенные квадратные уравнения. Теорема Виета

Приведенное квадратное уравнение обладает одним любопытным свойством, которое иногда помогает найти его корни, или проверить правильность найденного решения. Свойство это называется теоремой Виета.

Больше уроков на сайте  https://mriya-urok.com/

Сегодня на уроке мы продолжим изучать квадратные уравнения и познакомимся с еще одним их видом  – приведенными квадратными уравнениями.

Рассмотрим квадратное уравнение, записанное в общем виде :

ax² + bx + c = 0

Если старший коэффициент этого уравнения равен единице —  число   a = 1, то уравнение будет иметь вид: x² + bx + c = 0 , такое уравнение называется приведенным.

В виде приведенного можно записать любое квадратное уравнение, разделив все его коэффициенты на число a, не равное нулю. a – это старший коэффициент уравнения.

Приведенное квадратное уравнение обладает одним любопытным свойством, которое иногда помогает найти его корни, или проверить правильность найденного решения. Свойство это таково: если приведенное квадратное уравнение имеет 2 корня, то

их произведение равно третьему коэффициенту — свободному члену, а сумма  противоположна второму коэффициенту – коэффициенту линейного слагаемого.

Пример:   уравнение  x² + 14x + 40 =0  приведенное, его корнями являются числа  10 и 4. Сумма этих корней равна 14,  то есть противоположна -14, а произведение равно 40.

Это утверждение называется Теоремой Виета (по имени французского математика Франсуа Виета, жившего в 16 веке) для квадратного уравнения.  Эта теорема открывает связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами.

С ее помощью можно составить квадратное уравнение, имеющее заданные корни.

При помощи  теорема Виета можно  найти корни приведенного квадратного уравнения (если таковые есть).  Имея приведенное квадратное уравнение, можно, опираясь на его коэффициенты,  найти его корни.

Вот так, ориентируясь на знаки коэффициентов,  можно находить целочисленные корни, пользуясь беглым счетом.  Еще примеры – перед тобой столбик примеров
В каждом из этих примеров свободный член – положителен, и это говорит о том, что корни уравнения имеют одинаковые знаки. По знаку второго коэффициента можем определить, что сумма корней положительна, значит и сами корни положительны.

Еще один столбик  примеров:

В каждом из этих примеров свободный член – отрицателен, и это говорит о том, что корни уравнения имеют разные знаки. По знаку второго коэффициента можем определить, что   корень с большим модулем положителен.

В приложениях к уроку эти примеры предложены в качестве упражнений для закрепления материала урока.

И последняя задача на сегодня.

И, заканчивая этот урок, вспомним о том, что было изучено на прошлом, когда речь шла о неполных квадратных уравнениях.  Неполное квадратное уравнение можно сделать приведенным.

x² + 23x =0,      x² — 10 =0.   И для него  будет выполняться теорема Виета.  Повторим итоги прошлого урока. 2 различных корня неполное уравнение имеет в тех случаях, когда

Второе условие теорема Виета будет выполнено для обоих случаев. Проверь это самостоятельно.

Итак, результаты, полученные при подробном исследовании неполных квадратных уравнений, совпадают  с условиями теоремы Виета.