Показательные уравнения

Если взять обычную степень и перенести в показатель переменную x, получим показательное уравнение. Таких уравнений великое множество, и для них есть собственные методы решения.

Больше уроков на сайте  https://mriya-urok.com/

Показательные уравнения

Если взять обычную степень и перенести в показатель переменную x, получим показательное уравнение. Таких уравнений великое множество, и для них есть собственные методы решения.

Уравнения, которые содержат переменную в показателе степени, называют показательными уравнениями.

Например,  2^х= 8,     9^х— 6·3^х+6=0,     0,6 ^х-3=3

Сегодня мы познакомимся с простейшими конструкциями. Они так и называются — простейшие показательные уравнения

Уравнения вида  а^х=а^у, где а>0, а≠1 называются простейшими показательными уравнениями.

Простейшие показательные уравнения решаются с использованием свойства степени:

если  а^х=а^у, то х=у.

Все остальные, как бы сложно они ни выглядели, в итоге сводятся к простейшим.

Так как 5= ,то уравнение  равносильно уравнению х-9=1.

Решив полученное уравнение, находим: х=10.

Ответ: 10.

Показательные уравнения (и простые и более сложные), в основном,  решаются по следующей схеме:

1. Переводим все степени к одинаковому основанию. Желательно, чтобы оно было целым и минимальным. Например, вместо 4^х лучше писать 2^2х, а вместо 0,01^х  — (   =  ( = 10 ^-2х. Почему — узнаете из примеров.
2. В уравнениях, где есть умножение или деление, надо выполнить эти действия. Напомню: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении — вычитаются;
3. Если все сделано правильно, получим уравнение вида a ^f(x) = a ^g(x), где a — просто число. Его можно отбросить, и получим уравнение f (x) = g(x), которое легко решается.
4. Помните, что корни — тоже степени, но с дробным основанием:

Рассмотрим примеры решения показательных уравнений способом приведения обеих частей уравнения к одному основанию.

1. =1.

Представим 1 как ( )⁰. Тогда решением данного уравнения будет х=0.

Ответ: 0

Левая часть уравнения представляет собой произведение степеней с одинаковыми показателями, а при умножении степеней с одинаковыми показателями основания умножаются, а показатель остаётся тем же.

Получили простейшее показательное уравнение

Ответ: 3

3.Решить уравнение

В уравнении присутствуют сразу 4 множителя, которые надо перевести в степени с одинаковым основанием:

Учитывая эти факты, перепишем исходное уравнение:

Это уже простейшее показательное уравнение и мы можем просто откинуть основание 5.

Однако, запомним железно: убирать основания можно только тогда, когда слева и справа числа-основания находятся в гордом одиночестве! Безо всяких соседей и коэффициентов

Приведём дроби к общему знаменателю и  получим пропорцию:

Дальше все стандартно: произведение крайних элементов пропорции равно произведению средних.

Ответ: −11,25

Мы сегодня рассмотрели один из подходов к решению показательных уравнений. Но есть ещё несколько методов ,но это уже материал следующих уроков.