Показательная функция

Вам хорошо знакомо, что такое степень. Бывают два вида функций. формулы которых записывают в виде степени. Если независимая переменная «х» записана в основании, то функцию называют СТЕПЕННОЙ, а если независимая переменная «х» записана в показателе, то функцию называют ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ

Функция у = а^х, где а>0 и а 1, а х – переменная называется показательная функция.

а называют основанием, х – показателем, у – функция.

Именно потому, что аргумент х находится в показателе степени, она носит название показательной функции.

Например, у=3^х, у=(¾)^х, у=0,8^х и т.д.

Эта функция обладает одним замечательным свойством: скорость роста пропорциональна значению самой функции. Она как костер, который, чем больше разгорается, тем больше в него надо подкладывать дров.

Изучением этой функции мы и займемся сегодня на уроке — показательная функция.

План исследования функции.

1) Область определения функции.

2) Множество значений функции

3) Промежутки знакопостоянства

4) Четность (нечетность).

5) Точки пересечения с осями координат.

6) Монотонность и экстремумы.

7)График функции.

1) Найдём область определения функции, т.е. выясним, какие значения может принимать переменная х, чтобы можно было найти соответственное значение у по формуле у=а^х. Помните, что при этом мы рассматриваем только случай, когда а >0. Для этого рассмотрим несколько частых случаев.

Х – натуральное число. Тогда по определению степени с натуральным показателем аⁿ = аа·а·а…а (n раз). Действие умножения определено для любого а, поэтому множество натуральных чисел входит в область определения показательной функции.
Х=0, тогда по определению степени с нулевым показателем a⁰=1. Это означает, что график функции проходит через точку (0;1).
Х – целое отрицательное число. Тогда по определению степени с целым отрицательным показателем a^—ⁿ = , то есть у= а^-х = и множество целых отрицательных чисел тоже входит в область определения функции.
Х – рациональное число, т.е. число вида , где m Є Z, n Є N. Но по определению степени с рациональным показателем = . √Следовательно, множество рациональных чисел тоже входит в область определения показательной функции.
Х –иррациональное число, то его можно представить в виде обыкновенной дроби и применить 4 правило.

ВЫВОД: показательная функция область определения является множество всех действительных чисел. Это записывается так:

D(у): х ЄR. Из этого следует, что график функции непрерывный на всей области определения.

2) Найдём область значений функции, т.е. выясним, какие значения может принимать у, если х Є R. Так как а >0, то у=а^х> о.

Это означает, что график расположен в первой и второй четвертях.

3) Из области значений следует ,что промежутком знакопостоянства является промежуток (0; +∞) при х ЄR.

4) Функция ни чётная, ни нечётная, так как аⁿ ≠ а⁻ⁿ и аⁿ≠-aⁿ