Описанные четырёхугольники

Урок дает возможность:
Изучить определение описанные четырёхугольника.
Доказать свойство сторон описанные четырёхугольника.
Получить опыт практического применения рассмотренных теорем при решении задач.

Больше уроков на сайте https://mriya-urok.com/

Описанные четырёхугольники

Четырехугольник называется описанным, если все его стороны касаются некоторой окружности.

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности

Четырёхугольник АВСМ – описанный вокруг окружности с центром в точке О, так как АВ, ВС, СМ,МА – касательные к окружности.

А Т В

К Е

М Н С

Обозначим точки касания сторон четырехугольника с окружностью буквами К,Т,Е,Н.

Вспомним свойства касательных.

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

На нашем рисунке ОК | АМ, ОТ | АВ, ОЕ | ВС, ОН | МС.

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

На нашем рисунке АК=АТ, ТВ=ВЕ, ЕС=СН, МН=МК.

<КАО=<ТАО, <ТВО=<ЕВО,<ЕСО=<НСО,<НМО=<КМО.

Теорема

В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.

Доказательство

Пусть четырёхугольник ABCD описан около окружности ,т. е. стороны его АВ, ВС, CD и DA — касательные к этой окружности.

Требуется доказать, что

АВ + CD =AD + ВС.

Обозначим точки касания буквами М, N, К, Р, На основании свойств касательных, проведённых к окружности из одной точки, имеем:

АР = АК;

ВР = ВМ;

CN = СМ;

DN = DK.

Сложив почленно эти равенства, получим:

АР+ ВР + DN + CN =

= АК + ВМ +DK + СМ,

т. е. АВ + CD = AD + ВС, что и требовалось доказать.

Теорема (признак описанного четырехугольника).

Для этого чтобы выпуклый четырехугольник ABCD являлся описанным, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие AB + DC = BC + AD. (Суммы противоположных сторон равны.)

Такое равенство возможно для ромба, квадрата, трапеции. Следовательно, в эти четырёхугольники можно вписать окружность.

Задача 1

Один из углов ромба равен 60°, а большая диагональ равна 24см. Найти радиус окружности, вписанной в данный ромб.

Пусть АВСD – данный ромб,

< D= <В=60°.Тогда <А=< С=120°и большей диагональю будет DВ. По условию DВ=24см.

Проведём ещё одну диагональ

А С.Так как диагонали в точке пересечения делятся пополам, то DО=ОВ=12см. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, поэтому <АОВ=<ВОС=<СОD=

< DОА=90°.

Также диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому

<АВО=<СВО=30°.

Проведём радиус вписанной окружности ОК перпендикулярно АВ. Тогда по свойству катета, лежащего против угла 30°, в прямоугольном ∆АОК ОК=½•ОВ=6см.

Ответ: 6см.

Задача 2.

Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию, делит точкой касания большую боковую сторону на отрезки длиной 8см и 50см. Найти периметр трапеции, если радиус вписанной окружности равен 20см.

Решение

Дано: АВСD – трапеция,

ВС||А D, <АВС=90°,

О- центр вписанной окружности,

ОМ перпендикуляр к СВ,

СМ=8см, МD=50см, ОМ=ОК=20см. Найти Р(АВСD)

Решение

Так как ОК=ОР=20см (как радиусы вписанной окружности ), то КР=АВ=20см.

СМ+МD=СD=58см. Так как трапеция вписанная в окружность, то по свойству вписанного четырехугольника АВ+СD=ВС+АD. Так как АВ+ DС=20см+ 58см=76см, то ВС+АD=76см.Тогда Р(АВСD)=АВ+ВС+СD+DА=76см+76см=152см. Ответ: 152см.