Урок дает возможность:
Изучить определение описанные четырёхугольника.
Доказать свойство сторон описанные четырёхугольника.
Получить опыт практического применения рассмотренных теорем при решении задач.
Больше уроков на сайте https://mriya-urok.com/
Описанные четырёхугольники
Четырехугольник называется описанным, если все его стороны касаются некоторой окружности.
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности
Четырёхугольник АВСМ – описанный вокруг окружности с центром в точке О, так как АВ, ВС, СМ,МА – касательные к окружности.
А Т В
К Е
М Н С
Обозначим точки касания сторон четырехугольника с окружностью буквами К,Т,Е,Н.
Вспомним свойства касательных.
- Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
На нашем рисунке ОК | АМ, ОТ | АВ, ОЕ | ВС, ОН | МС.
- Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
На нашем рисунке АК=АТ, ТВ=ВЕ, ЕС=СН, МН=МК.
<КАО=<ТАО, <ТВО=<ЕВО,<ЕСО=<НСО,<НМО=<КМО.
Теорема
В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.
Доказательство
Пусть четырёхугольник ABCD описан около окружности ,т. е. стороны его АВ, ВС, CD и DA — касательные к этой окружности.
Требуется доказать, что АВ + CD =AD + ВС. |
Обозначим точки касания буквами М, N, К, Р, На основании свойств касательных, проведённых к окружности из одной точки, имеем:
АР = АК; ВР = ВМ; CN = СМ; DN = DK. Сложив почленно эти равенства, получим: АР+ ВР + DN + CN = = АК + ВМ +DK + СМ, т. е. АВ + CD = AD + ВС, что и требовалось доказать. |
|
|
Теорема (признак описанного четырехугольника).
Для этого чтобы выпуклый четырехугольник ABCD являлся описанным, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие AB + DC = BC + AD. (Суммы противоположных сторон равны.) |
Такое равенство возможно для ромба, квадрата, трапеции. Следовательно, в эти четырёхугольники можно вписать окружность. |
Задача 1
Один из углов ромба равен 60°, а большая диагональ равна 24см. Найти радиус окружности, вписанной в данный ромб.
|
Пусть АВСD – данный ромб, < D= <В=60°.Тогда <А=< С=120°и большей диагональю будет DВ. По условию DВ=24см. Проведём ещё одну диагональ А С.Так как диагонали в точке пересечения делятся пополам, то DО=ОВ=12см. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, поэтому <АОВ=<ВОС=<СОD= < DОА=90°. Также диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому <АВО=<СВО=30°. Проведём радиус вписанной окружности ОК перпендикулярно АВ. Тогда по свойству катета, лежащего против угла 30°, в прямоугольном ∆АОК ОК=½•ОВ=6см. Ответ: 6см.
|
Задача 2.
Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию, делит точкой касания большую боковую сторону на отрезки длиной 8см и 50см. Найти периметр трапеции, если радиус вписанной окружности равен 20см.
Решение
Дано: АВСD – трапеция,
ВС||А D, <АВС=90°,
О- центр вписанной окружности,
ОМ перпендикуляр к СВ,
СМ=8см, МD=50см, ОМ=ОК=20см. Найти Р(АВСD)
Решение
Так как ОК=ОР=20см (как радиусы вписанной окружности ), то КР=АВ=20см.
СМ+МD=СD=58см. Так как трапеция вписанная в окружность, то по свойству вписанного четырехугольника АВ+СD=ВС+АD. Так как АВ+ DС=20см+ 58см=76см, то ВС+АD=76см.Тогда Р(АВСD)=АВ+ВС+СD+DА=76см+76см=152см. Ответ: 152см.
Отправить ответ
Оставьте первый комментарий!
Вы должны быть зарегистрированы чтобы оставить комментарий
Вы должны быть зарегистрированы чтобы оставить комментарий