Однородные показательные уравнения

При делении правой и левой части уравнения на выражение, содержащее неизвестное, можно потерять корни. Или получить посторонние. Чтобы этого избежать, необходимо строго учитывать ограничения, которые накладываются на буквенные выражения.

Больше уроков на сайте  https://mriya-urok.com/

Смотри также уроки: «Показательные уравнения«, «Нестандартные показательные уравнения«

Однородным уравнением первой степени относительно f(x) и g(x)называется уравнение видаa·f(x)+b·g(x)=0,  где a и b- некоторые числа, f(x) и  g(x) – некоторые выражения с переменными.

Однородным уравнением второй степени относительно f(x)и g(x)называется уравнение вида a·f²(х)+b·f(x)·g(x)+c·g²(х)=0, где a,b,c – некоторые числа, f(x) и  g(x) – некоторые выражения с переменными.

Метод решения однородных уравнений  — деление обеих частей уравнения на соответствующую степень одной из функций.

Однородные показательные уравнения

Внимание! При делении правой и левой части уравнения на выражение, содержащее неизвестное, можно потерять корни. Или получить https://mriya-urok.com/video/pokazatelnye-uravneniya/посторонние.

Пример1.

2^2-х – 3^2-х=0.

ОДЗ х-любое

Это однородное уравнение первой степени и решает его делением обеих частей на 3^2-х>0( или на 2^2-х>0).

—  = ,

( )^2-х – 1=0,

( )^2-х=1,

Вспоминаем, что 1= ( )⁰ и получаем

)^2-Х=( )^0,

^2-Х=0,

^Х=2

^Ответ.2

Пример 2.

4^х+6^х=2·9^х.

Это однородные показательные уравнения второй степени.

Почему? Заметим, что

4^х=2^2х, 9^х=3^2х, 6^х=(2·3)^х=2^х·3^х.

2^2х+ 2^х·3^х -2·3^2х=0

( как видите похоже на a·f²(х)+b·f(x)·g(x)+c·g²(х)=0).

Делим обе части уравнения, например, на 3^2х  ( или на 2^х·3^х, или на 2^2х). Мне больше нравится на 3^2х.

+  -2· =

( )^2х + ( )^х -2=0

Вводим новую переменную ( )^х=t>0, тогда( )^2Х =t² и получаем квадратное уравнения относительно t:

t²+ t-2=0,

t₁=1, t₂=-2.

-2<0, поэтому -2 – посторонний корень.

Переходим к переменной х.

( )^Х=1 или

( ) ^Х=( )⁰.

Х=0.

Ответ. 0

Однако, существуют уравнения, которые невозможно сразу определить, каким способом их решать. Это так называемые показательные уравнения нестандартного вида. Таких уравнений в школьном курсе рассматривается немного, но на внешнем независимом тестировании они есть.