Нестандартные показательные уравнения

Можно внимательно изучить и хорошо запомнить все стандартные методы решения уравнений, но это все равно не избавит вас от необходимости рассуждать, чтобы решать нестандартные уравнения.

Больше уроков на сайте  https://mriya-urok.com/

Смотри также уроки: «Показательные уравнения«, «Однородные показательные уравнения«

 

Показательные уравнения  а^x = b.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

                            Стандартные                           Нестандартные

Ø Сведение степеней к одинаковому основанию Ø Вынесение за скобку общего множителя Ø Введение новой переменной Ø Использование однородности

Ø Функционально-графический Ø Использование монотонности функции

 Вспомним суть графического способа решения уравнений:

Построить графики двух функций (левая и правая части уравнения);

Найти абсциссы точек пересечения графиков;

Записать ответ.

№1

Рассмотрим графический способ решения на примере уравнения 2^х = 4  Построим графики функций y = 2^х, y = 4 и найдем абсциссу точки пересечения графиков: x = 2.

Ответ: x = 2

Графический способ можно применить не всегда пи не всегда он даёт точный ответ.

a^x+ b^x=c (с-некоторая постоянная, некоторое число,const)

Уравнения данного вида или сводящиеся к ним уравнения решаются при помощи свойств монотонности показательной функции: если функция f(x) монотонна на своей области определения  Е и f (x₀)=c, то число  x₀— единственное решение уравнения f(x) = c на множестве Е.

№2

+ 3^х +4^х=9^х

+ 3^х = 9^х – 4^х

+3^х = (3²)^х— (2²)^х

+3^х =(3^х)² –(2^х)²

+ 3^х = (3^х — )( 3^х + ),

+ 3^х) — (3^х — )( 3^х + )=0,

+ 3^х)  (1 -3^х + ) =0,

• + 3^х = 0  или  2)1- 3^х + =0 или  1+  = 3^х

.

Решим второе уравнение. Поделим обе части уравнения на 3^х. Получим

+  =  ,

( )^х +( )^х =1.

Ни один из рассмотренных нами способов нам не подходит. Поэтому такое уравнение решается способом подбора

Это возможно, когда х=1. ( +  =1)

Заметим, что х = 1 – корень уравнения. Функция  f (x)  =( )^х +( )^х – есть сумма убывающих функций, то есть f (x) убывает. Значит, каждое свое значение она принимает ровно один раз. Поэтому, уравнение имеет единственный корень х=1.

Ответ. 1