Описание к Уроку

Логарифмы — одна из самых страшных тем для большинства старшеклассников. Надеемся, что после просмотра этого урока, у вас на один страх будет меньше.

 

 

 

Определение логарифма

Мы научились решать показательные уравнения и неравенства.

х – это показатель степени, в которую нужно возвести основание степени, чтобы получить…

А как решить уравнение 3х=8?

У нас с вами не хватает знаний для решения этого уравнения. Такая же проблема стояла перед математиками на определенном этапе развития математики. Чтобы решить это уравнение, было введено новое понятие – логарифма.

Что такое логарифм? Как решать логарифмы? Эти вопросы многих выпускников пугают. Традиционно тема логарифмов считается сложной, непонятной и страшной. Особенно — уравнения с логарифмами. Это абсолютно не так.

  1. Поймете, что такое логарифм.
  2. Научитесь решать целый класс показательных уравнений. Даже если ничего о них не слышали.
  3. Научитесь вычислять простые логарифмы.

 

Согласитесь, что это как-то нечестно – с девяткой пример решается в уме, а с восьмеркой не решается вовсе! Ну чем девятка лучше восьмерки?! Математика не терпит такой дискриминации. Для математики все числа равны! Ну, не буквально, конечно….

Можно сообразить, что икс – какое-то дробное число, между единичкой (31 = 3) и двойкой (32 = 9). И даже приближенно подобрать, найти это число. Но так возиться каждый раз…. Математика решает вопрос как всегда радикально и элегантно. Просто введением понятия логарифма.

Итак, что такое логарифм?

Вернёмся к нашему загадочному примеру:

3х = 8.

х — это число, в которое надо возвести 3, чтобы получить 8. Фраза понятна? Если непонятна, повторю ещё раз. И ещё. Это важно.

Вот и назовём это число логарифмом восьми по основанию три. Записывается это вот как:

х = log 38

Читаем ещё раз: «икс равен логарифму восьми по основанию три».

Где что пишется – запомнить легко: число 3 – называется основанием, пишется в логарифме и в показательном выражении внизу.

Мы решили крутое показательное уравнение 3х = 8!

Ответ: х = log 3 8 .

И, неожиданно для себя, научились решать все показательные уравнения такого типа!

 

Легче стало? Учтите ещё, что это число никогда не кончается. Иррациональное оно…

Поэтому и записывают логарифмы вместо страшно лохматых чисел. Кому надо числовой ответ — посчитает на калькуляторе.

Но это теперь мы умные с калькуляторами, да с компьютерами. А раньше каково было математикам?

Логарифмы необычайно быстро вошли в практику. Изобретатели логарифмов  не ограничились разработкой новой теории. Было создано практическое средство – таблицы логарифмов, которые резко повысили производительность труда вычислителей. Первые таблицы логарифмов были составлены независимо друг от друга шотландским математиком Джоном Непером (1550-1617) и швейцарцем  Йост Бюрги (1552-1632).

В таблицы Непера вошли значения логарифмов синусов, косинусов и тангенсов для углов от 0 до 90⁰ с шагом в 1 минуту. Бюргер подготовил свои таблицы логарифмов чисел, но вышли они в свет после таблиц Непера и потому остались незамеченными.

Добавлю, что в 1623 году ( через 9 лет после выхода таблиц) английским математиком  Д Гантером  была изобретена логарифмическая линейка. Для своего времени логарифмическая линейка была очень нужным инструментом. Она позволяла выполнять сложение, вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня, вычисление логарифмов и работать с тригонометрическими функциями. Точность выполнения операций могла достигать 4-5 знаков после запятой! При помощи таких логарифмических линеек советские инженеры выполняли расчеты при проектировании зданий, сооружений, крупных промышленных объектов, возводимых  в СССР, новых самолетов, машин, кораблей. Ее использовали бухгалтеры и специалисты, которых сейчас назвали бы менеджерами. Когда-то логарифмические линейки значительно облегчали жизнь и студентам.

Изобретатель логарифмов Джон Непер (1550-1617) имел репутацию чернокнижника и колдуна, чем он однажды остроумно воспользовался.

Как-то раз в его доме случилась кража. Виновником мог быть только кто-то из слуг, но кто именно, непонятно. И тогда Непер придумал хитрый ход. Собрав всех своих слуг, он объяснил им, что его черный петух умеет читать тайные мысли людей, и поэтому поможет ему найти вора. После этого Непер приказал слугам поодиночке заходить в темную комнату и касаться рукой сидящего там черного петуха. Как только вор коснется петуха-телепата, добавил он, тот громко закричит.

Слуги по очереди стали заходить на «прием» к петуху, но тот так и не закричал. Однако Непер легко вычислил вора, проверив руки испытуемых после «петушиного» теста. Руки невиновных были испачканы золой, которой хитроумный хозяин предварительно засыпал петуха. Злоумышленник же испугался ясновидящей птицы и, войдя к нему в комнату, не коснулся его. Поэтому его руки, в отличие от совести, были чистыми.

 

Так, что такое логарифм — осознали, и решать целый класс показательных уравнений — научились.

Но радость от новых знаний будет неполной без ложки дегтя. Если логарифм считается без калькулятора, его надо считать. Ответ, например, х = log 2 4 нехорош. Этот логарифм вычисляется, и его вы обязаны посчитать. Собственно, это и есть решение логарифма.

И чему же равен log 2 4?

 

До сих пор мы знали два жёстких ограничения. Нельзя делить на ноль и извлекать корень чётной степени из отрицательного числа. Эти ограничения играют огромную роль в решении заданий. Про ОДЗ помните? Теперь добавляются ограничения, связанные с логарифмами.

Запишем в общем виде, т.е. через буквы:

или, что едино:

Вспомним: а — это основание, которое нужно возвести в степень с, чтобы получить b.

Прикинем, любым ли числом может быть а? Если, к примеру, а = 1? Забавно получится, единица в любой степени — единица. Как-то оно не очень… Как не меняй с, а а и b единичками останутся… Та же история и с нулём. Не годятся эти числа в качестве основания. Отрицательные числа — капризные. В одну степень их можно возводить, в другую нельзя… Вот и поступили с ними, как со всеми капризными – вовсе исключили из рассмотрения.

В результате получилось:

А если мы положительное число возведём в любую степень, мы получим… получим… Да! Положительное число и получим. Отсюда:

Вот и все ограничения. Только на  а и b. с может быть совершенно любым числом.

При решении числовых логарифмов эти ограничения практически не сказываются. Но при решении логарифмических уравнений и неравенств — это настолько важно, что я здесь про ограничения сказала, в уравнениях скажу, и при любом удобном случае повторять буду!

 

Ещё не мешает знать, что такое десятичный логарифм и что такое натуральный логарифм? В математике два основания употребляются очень часто. Это основание 10 и основание е. Число е.

е = 2,71828182845…..

Иррациональное число. Сплошь и рядом попадается в высшей математике. Само попадается, его не придумали. Почему попадается — неизвестно…

Значки логарифмов по этим основаниям имеют своё написание.

Log 10 b = lg b

Основание 10 не пишется, буква «о» пропадает. Такие логарифмы называются десятичными. И

Log е b = lnb

Логарифмы по основанию «е» называются натуральными. Хотя чего уж там натурального….

Эти логарифмы ничем не отличаются от всех остальных! Ни по определению, ни по свойствам! Решение этих логарифмов ничем не отличается от решения обычных!

 

Добавлено Октябрь 22, 2014, Yurka Категория Тэг

Комментарии

Отправить ответ

Оставьте первый комментарий!

Notify of

wpDiscuz