Корень из произведения и дроби

Урок, на котором можно больше и подробнее узнать о применении некоторых свойств арифметического квадратного корня

Больше уроков на сайте  https://mriya-urok.com/

ранее были сформулированы 6 свойств.  Сейчас рассмотрим только 3 из них.

1) (√а)² = а;

2) Ар_кв_кор  из произведения;

3) Ар_кв_кор из  дроби.

И примемся за решение примеров, в которых будем опираться на  те значения квадратов чисел, которые ты хорошо помнишь, а еще – на таблицу квадратов двузначных чисел. можешь распечатать ее или открыть перед собой, она есть в дополнениях к уроку.

Вычислим значения ар_кв_кор.

Пример1.

;

Могут броситься в глаза числа 9 и 16 – это такие числа, из которых можно извлечь кв_кор, но делать этого нельзя, потому что подкоренное выражение – это смешанное число, а значит под корнем – сумма целой и дробной части. Не описаны еще такие свойства, которые позволяют извлекать корень из суммы.  Поэтому надо искать другой путь решения. Смешанное число под корнем надо перевести в неправильную дробь: . Теперь под корнем – дробь, и это позволяет воспольз одним из св-в.

Пример2.

√810∙40 =/два числа, которые оканчиваются нулями…/= √81∙10∙4∙10 = 9∙10∙2= 180

Пример3.   значения квадратов чисел

√(21,8²-18,2²) =

/и тут на помощь придут формулы сокращенного умножения; под корнем ты можешь увидеть разность квадратов двух чисел, которую можно заменить произведением суммы и разности этих чисел/

= √3,6∙40 =

/умножать – не спеши, но обязательно проанализируй, какими цифрами записаны числа, а для этого отбрось мысленно запятые десятичных дробей и нули, записанные в конце числа, и в этом случае можешь увидеть такие числа, которые являются квадратами  /

Пример4.

√435600 = √66²∙100 = 66∙10 = 660

√0,2601 = 0,51

В рассмотренных четырех примерах подкоренные числа были представлены в виде таких произведений, чтобы можно было извлекать корень отдельно из каждого сомножителя.

Пример5. Немного отличается.  Посмотрим, на какие множители можно разложить число, которое записано под корнем;  определяем по таблице, что из числа  121  можно извлечь корень   значения квадратов чисел

√363 = √3∙121 = √3∙√121 = 11∙√3   и больше ничего нельзя сделать. Продемонстрированный прием называется вынесением  множителя из-под знака корня.

Повторим это еще 2 раза:

√200 = √2∙100 = 10∙√2

0,125∙√192 = 0,125∙√96∙2 = 0,125∙√3∙2∙2∙2∙2∙2∙2 = 0,125∙2∙2∙2√3 = √3

Пример6.  Покажу еще один прием – внесение множителя под знак корня.

7√10 = √49 ∙√10 = √490

0,2√в = √0,04∙√в = √0,04в.

Пример 7.  Вспомним еще раз формулу разности квадратов. С ее помощью можно  разложить на множители такую разность: х² – 25= (х — 5)(х + 5)

А можно ли разложить на множители х² – 5?   Тоже можно. Только надо помнить о том, что 5 = (√5)²  и тогда:  х² – 5 = х² – (√5)²  = (х — √5)(х + √5)

3 + √3 = (√3)² + √3 = √3(√3 + 1)