Геометрическое место точек — ГМТ

Тема этого урока, возможно, и не совсем обязательная, но для общего развития и понимания геометрии его просмотреть всё-же нужно.

Больше уроков на сайте  https://mriya-urok.com/

 

 

 

 

Геометрическое место точек – это фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые  обладают некоторым свойством.

Слова «Геометрическое место точек» — это лишь слова, название абстрактного объекта, если они не подкреплены описанием конкретного свойства.  Но если такосв-во  описать, то слова «Геометрическое место точек, обладающих этим свойством»  — это уже описание какой-то   фигуры. Впрочем, фигурой может быть  и  просто пара точек на плоскости,  а могут оказаться и знакомые тебе объекты – лучи, прямые…

Приведем несколько примеров.

• Геометрическое место точек,  удаленных на определенное расстояние от  одной, заданной, точки – это окружность с центром в заданной точке.  (это определение окружности,  подробному описанию  ее  свойств посвящен один из уроков на сайте).
• Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла – это биссектриса угла . фигура — луч).
• Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка – это серединный перпендикуляр к отрезку (фигура – прямая).

Вообще-то, фигура может состоять из точек, обладающих особенным св-вом,  но содержать не все точки, которым присуще это св-во  (пример – объединение   двух дуг). А в определении ГМТ сказано:  «из всех точек плоскости, облад…».  Поэтому для того, чтобы убедиться, что фигура является каким-то  Геометрическим местом точек, нужно доказать два взаимно обратных утверждения:  1)  если точка принадлежфигуре, то она обладает этим св-вом;

2) если точка  обладает этим св-вом, то она  принадлеж  фигуре.

Вернемся к описанным примерам

• …
• Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла – это биссектриса угла.

1. Точка прин бисс угла => она равноудалена от сторон этого угла;

Опустим перпендикуляры:

Рассмотрим треугольники

Равенство соответствующих перпендикуляров

2. Точка равноуд от сторон этого угла (равныперп) => она принбисс.

Через точки О, А можно провести  отрезок прямой

Рассмтреуг

Равенство соответствующих углов  =>  ОА – биссектриса

 

• Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка – это серединный перпендикуляр к отрезку.

1. Точка принсередперп =>раноудал.

Соед точку с концами отрез =>

Получтреуг  АВК,  где КО  — выс и мед =>треуг — равнобедр (можно рассм два треуг, равные по первому призн => равны соотв стороны) =>треуг – равнобедр.

2. Точка равноудал от  концов отрез=>принсередперп.

Возьмем произвольную точку К , равноудаленную от концов , соед ее с концами отрез =>получравнобедртреуг.

Проведем высоту этого треуг, а по св-вуравнобтреуг она явл еще и  медианой, то есть  является отрезком середперп.

 

Вывод:  описанные  три  фигуры действительно  явл прим ГМТ.

 

Для решения задач, в которых требуется найти ГМТ,  нужно выполнить следующие шаги:

• Найти на пл-ти и обозначить несколько точек, облад заданным св-вом;
• Сделать предположение о том, как размещена на пл-ти искомая фигура;
• Доказать два взаимно обратных утверждения.