Cтепень с натуральным показателем

Это особый вид выражений — буквенных или числовых. Но и те, и другие обладают похожими свойствами. Внешний вид выражения, которое называют словом «Степень», тебе уже знаком. Степень an, означает произведение n множителей, каждый из которых равен a . В записи степени число a называют основанием степени, а число n – показателем степени. Показатель степени показывает, сколько раз нужно перемножить основание, чтобы вычислить значение степени. В вычислении показатель не участвует.

Больше уроков на сайте https://mriya-urok.com/

Внешний вид выражения, которое называют словом «Степень», тебе уже, наверное, знаком. Думаю, даже приходилось слышать о том, что эта запись означает. Но, обсудим это еще раз, подробно, с самого начала.

Сначала прочитаем правильно степенные выражения, которые записаны на доске. aⁿ, d^k⁺¹, 3⁵, (a+1)⁸, 16², 5³

Теперь определение. Степень aⁿ, означает произведение n множителей, каждый из которых равен a . В записи степени число a называют основанием степени, а число n – показателем степени. Показатель степени показывает, сколько раз нужно перемножить основание, чтобы вычислить значение степени. В вычислении показатель не участвует.

Если показатель степени равен 1, то степень примет вид: a¹, применим теперь определение: a¹ – это произведение … одного множителя, равного а. Соотв, получаем: a¹= а. Первая степень любого числа равна самому этому числу

Основ – число ноль => 0ⁿ = 0∙0∙…∙0 (n раз) = 0 – любая нат степ числа 0 равна 0
Основ положительно. Тогда произведение любого количества положительных множителей будет положительным числом.
Основ отрицательно. Например, -2: (-2)¹ = -2, (-2)² = 4, (-2)³ = -8, (-2)⁴ = 16, (-2)⁵ = -32, (-2)⁶ = 64, … тут видно, что знаки результатов чередуются. Если показатель – четный, то значение степ положительно, если – нечет, то отрицательно. И выше в одном из примеров я уже поговаривала, почему это так.

Теперь опишем некот св-ва степ с нат показ. Эти св-ва пригодятся тебе при реш прим

Ты уже знаешь, что математика не просто предлагает законы и правила, а объясняет, или доказывает их справедливость. Так что, докажем эти св-ва

aⁿ – степень с осн и показ , a^k – степень с осн и показ . Правило таково: чтобы перемножить 2 степени с одинаковыми основаниями, нужно основание степени оставить прежним, а показ сложить. Почему?

aⁿ ∙a^k = а∙…∙а∙а∙…∙а = а∙…∙а = aⁿ⁺^k

В этом свойстве рассм деление степ с большим показ на степ с меньшим показ. Чтобы разделить 2 степени с одинаковыми основаниями, нужно основание степени оставить прежним, а из показателя степ делимого вычесть показ степ делителя. Короче: … а показатели вычесть. Для док-ва проще перейти к записи частного, деления в виде дроби: aⁿ :a^k =
-е св-во наз правилом возведения степ в степ. И звучит оно так: чтобы возвести степ в степ, нужно основание оставить прежним, а показ перемнож. И снова для док-ва воспольз определением

(aⁿ)^k = aⁿ∙…∙aⁿ = тут можно использ св-во умножения степ = aⁿ^+…+ⁿ = заменяем

сумму большого количества одинаковых слагаемых произведением.

5) Возведение в степень произведения и частного. доказательства этих св-в аналогичны предыдущим, к тому же св-во возведения в степень частного было продемонстрировано ранее на примерах.

Все свойства, перечисленные выше, записаны для двух степеней, или двух множителей, но они распростр и на большее количество множителей. Например:

4³∙4⁵ ∙4⁷:4⁹ = 4^3+5+7-9 = 4⁶ (5х²у)³ = 5³(х²)³у³ = 125х⁶у³

Все рав-ва, выражающие св-ва степеней – это тождества, то есть они верны при любых допустимых значениях входящих в них переменных, а допускаем мы… (знам – не нуль!). Кроме того, применять их можно и иначе, поменяв местами правые и лев части.

Если показ степ выражен суммой, то можно заменить эту степень произведением двух степеней с меньшими показателями.

Если показ степ выразить разностью, то можно заменить эту степень частным двух степеней.

Чтобы перемножить 2 степени с одинаковыми показ, нужно основания степеней премножить, а показ оставить прежним.