Cледствия из теоремы косинусов

На этом уроке вы научитесь применять теорему косинусов на конкретных примерах и узнаете о некоторых следствиях этой теоремы

Больше уроков на сайте  https://mriya-urok.com/

Связанные уроки: теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен  сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. 

И представим иллюстрацию этой формулировки , опираясь на чертеж.  Возьмем произвольный треугольник, стороны которого имеют длины  a, b, c.  величины углов обозначим буквами греческого алфавита  γ,α,β.    Тогда на основании  утверждения теоремы для этого треугольника можно записать 3 равенства:

a² = b² + c² – 2bc cos α;     b² = a² + c² – 2ac cos β;     c² = a² + b² – 2ab cos γ .

Первое следствие из теоремы состоит в том, что, пользуясь ее утверждением, можно определить вид треугольника – будет ли он остроугольным, тупоугольным или прямоугольным.   А как? Согласись, что формулировка теоремы слегка напоминает теорему Пифагора. Будь у нас прямоугольный треугольник,  одно из этих равенств обязательно бы выполнялось. А именно,  то, в котором в левой части записан квадрат гипотенузы.  Ведь гипотенуза – именно та сторона, квадрат которой и равен сумме квадратов двух других сторон – катетов. НО если тртеугольник- не прямоугольный, то равенства не будет.   А теперь перейдем к формулировке первого следствия:

• Если квадрaт стороны треугольника меньше суммы квадратов двух других сторон, то напротив этой стороны в треугольнике лежит острый угол.           Если же квадрaт любой стороны треугольника меньше суммы квадратов двух других сторон , то  треугольник – остроугольный.
• Если  квадрат  стороны  треугольника  больше суммы квадратов двух других сторон, то напротив этой стороны в треугольнике лежит острый угол .         Такой треугольник – тупоугольный, и можно сказать, какой угол у него тупой.

Записывать  все 3 равенства и  проверять каждую из трех сторон не нужно. Чтобы определить вид треугольника, надо выяснить, есть ли в треугольнике прямой или тупой угол, а такой угол может быть только один, и притом он – самый большой в треугольнике. А напротив наибольшего угла лежит наибольшая сторона, как мы знаем из неравенства треугольника.  Поэтому  проверять нужно только одну – наибольшую сторону треугольника.

Перейдем теперь ко второму следствию  теоремы косинусов. Его можно (записать) сформулировать в виде формулы.

Если  a, b, c – стороны треугольника, α – угол, лежащий напротив стороны  а,   то          чтобы получить эту формулу, нужно просто выразить cos из соответствующей формулировки теоремы.   И подобных утверждений можно записать еще 2 – для каждого угла.  Напоминаю, что косинус  может быть как положительным, так и отрицательным числом. Если косинус отрицателен, то соответствующий  угол – тупой.  Но во всех случаях следует помнить о том, что модуль косинуса меньше 1.

определить вид треугольника  определить вид треугольника

Итак, на этом уроке изучены два следствия из теоремы косинусов. Одно из них позволяет определять вид каждого угла в треугольнике, стороны которого известны, а второе – вычислять косинусы углов и, соответственно, находить    величины этих углов.