Доказательство неравенств

Реши несколько упражнений вместе с учителем, и тебе легче будет выполнять задания подобного рода самостоятельно

Доказать – значит привести аргументы, которые отметут все сомнения в правоте высказанного. Для доказательство неравенств часто используют один простой факт:

Квадрат числа или выражения всегда неотрицателен. а²≥ 0, или (   )² ≥ 0.

Доказывая н-во, нужно каким-то определенным образом преобраз-ть выр-ия. Всегда имей в виду, что самый  простой способ док-ва – это записать выр-ие в виде полного квадрата, или же хотя бы выделить квадрат. Первый прим на доске.

4b² + 4b + 3 > 0;   каждое слаг можно запис в другом виде:    (2b)² + 2∙2b + 1+2 > 0;   теперь можно выделить группу, кот запишем в виде полного квадрата;  (2b+ 1)² + 2 > 0.     перейдем к анализу записанного в лев части преобразованного выр-ия. Оно сост из двух слаг,  одно полож число, и второе – квадрат, кот тоже полож. Сумма двух полож чисел полож.  Итак, вот они, аргументы: выражение в лев части н-ва будет положит,  потому что оно может быть записано в виде суммы двух положит чисел.

Но выделение квадрата – не единств  спос  док-ва  нер-в. Пример рассужд другого рода

a² + ab + b² ≥ 0    Выр, конечно, похоже на полный квадрат, но все же кое-чего не хватает. Это выр сост из трех слаг, два из них – квадраты, значит – полож.

Третье слаг тоже окажется полож, если числа, обозн буквами a и b им одинак знаки, а сумма  полож чисел полож;

если числа, обозн буквами a и b им разные знаки, то произв ab отрицат, то есть, перед ним появ знак минус, и после минуса |a||b|. [ Пусть тебя не смущает обознач мод, оно указывает на то, что мы рассм числа без знаков и эти скобки-стенки как будто ограждают числа от возможного появления минуса].

Мод a и b тоже могут быть одинак или разными.

При одинак |a||b| превращ в квадрат, равный одному их слаг a²  или  b², тогда все выраж можно упрост  и оно — квадрат, кот ≥0 и н-во док-но

Если мод a и b – разные, один из них больше. К примеру,|a|>|b|. Это н-во, обе части кот мы умнож  на одно и то же полож число:  |a||a|>|b||a|, теперь можно заменить произв мод на квадрат числа: a²>|b||a| =>, если вычесть из большего числа  а² меньшее произв модулей, то разность окажется положит.

Итоговое заключение: сумма  полож чисел полож.

[ в последнем док-ве, основанном на св-вах чисел и д-ий, использован один мeтод, кот часто прим для док-ва нер-в, в к-рых нет нуля в пр или лев частях]

И такие н-ва встречаются очень часто:   (3a + 2)(2a – 4) – (2a – 5)² > 3(4a – 12)

(p – 3)(p + 4) < p (p + 1);

(x + 1)² > x(x + 2);

(a – 5)(a + 2) > (a + 5)(a – 8)

2a² + b² + c² > 2a(b + c)

Назовем его – метод разности.

Если a>b, то разность a-b>0. И наоборот: Если разность a-b>0, то  a>b, аналогично и со всеми другими знаками

метод сост в том, что составляют разность лев и прав части н-ва и показывают, что эта разн принимает значения пост знака, то есть, доказ  н-во с нулем.(аналогичные рассмотренным)

в кач-ве прим выберем одно из н-в:

(x + 1)² > x(x + 2) ;  составляем разн  (x + 1)² — x(x + 2) >0 (знак оставили тот же, что и был), теперь осталось преобраз и получ очевидное н-во. Таким образом, разность лев и прав части положит, значит, лев больше прав. Исходное н-во док-но.

В последнем прим не пришлось прибегать к выделению квадратов, наоборот, полученное выраж было упрощено и это привело к очевидному выводу. Упрощение, или преобразование выраж – это еще один из методов доказательство неравенств

В этом упр стоит заметить, что каждая из дробей м.б  записана в виде разности:

А получ выражение можно упростить. Результат :  1-1\30. Такое н-во уже становится очевидным

Тебе знакомо уже понятие среднего арифметического двух чисел: это их полусумма.  Познакомься с еще одной средней величиной: среднее геометрическое  двух чисел. Это кв кор из их произв . Несложно доказать, что ср арифм двух  чисел не меньше их сред геом.

Упростим, убрав дробь:

Прим мет разности:

Теперь выполн преобр:

доказательство неравенств

И вот, мы снова получ квадрат, который положителен. Итак, разность лев и прав части положит, значит, лев больше прав. Исходное н-во док-но.

Это нер-во часто использ как опорное для док-ва других нер-в. То есть, используя тот факт, что ср арифм двух  чисел не меньше их сред геом, можно док-ть след н-во:

        доказательство неравенств

Если раздел на 8 обе части этого нер-ва, то   в пр части окажется произв трех ср арифм. Для каждого можно запис свое н-во, а потом эти верные числовые н-ва можно перемножить:

Теперь преобр прав часть: все множ запиш под одним знаком корня, а потом вынесем из-под корня квадраты. Ну и напоследок упростим н-во, умножив обе его части на 8 и тем самым убрав дробь. Вот и получ то, что нужно док-ть